Question

13．如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，-6）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，與拋物線交于點(diǎn)D．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PD的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）連接AD，求△PAD為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）①∠APD是直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，②求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD是直角，分別寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；

解答 解：（1）根據(jù)題意得，$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
（2）∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∴C（6，0）
∵A（0，-6），
∴直線AC解析式為y=x-6，
設(shè)P（t，t-6），
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²-2t-6），
∴PD=|$\frac{1}{2}$t²-2t-6-（t-6）|=|$\frac{1}{2}$t²-3t|=|$\frac{1}{2}$（t-3）²-$\frac{9}{2}$|=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$，
當(dāng)t=3時(shí)，PD_最大值=$\frac{9}{2}$；
（3）設(shè)P（t，t-6），
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²-2t-6），
∵PD∥y軸，
∴CD∥x軸時(shí)，∠ADP=90°，
∴-6=$\frac{1}{2}$t²-2t-6，
∴t=0（舍）或t=4；
∴P（4，-2）；
∵拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，-8），
∴P（2，-4），
∵A（0，-6）
∴AD²=4+4=8，PD²=4²=16，PA²=4+4=8，
∴AD²+PA²=PD²，
∴△PAD為直角三角形，
∴P（2，-4）．
即：△PAD為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4），（4，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，（2）整理出PD的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，（3）關(guān)鍵在于利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征作出判斷．