Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC．求證：
（1）S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）BD：CD=AB：AC．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比解答；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAD=∠E，然后求出△ABD和△ECD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

BD

CD

=

AB

CE

，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再求出∠CAD=∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，從而得證．

解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h，
則S_△ABD=

1

2

AB•h，S_△ACD=

1

2

AC•h，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，
所以，∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴

BD

CD

=

AB

AC

，
即BD：CD=AB：AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比的證明，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出相似三角形和等腰三角形．