Question

10．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=ax﹢b的圖象交于C（4，-3），E（-3，4）兩點．且一次函數(shù)圖象交y軸于點A．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）求△COE的面積；
（3）點M在x軸上移動，是否存在點M使△OCM為等腰三角形？若存在，請你直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）點C（4，-3）坐標代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$即可求出k，C（4，-3），E（-3，4）兩點坐標代入y=ax+b解方程組即可求出a、b．由此即可解決問題．
（2）先求出點A坐標，根據(jù)S_△COE=S_△AOE+S_△AOC計算即可．
（3）分三種情形①當CM=OC時，可得M₁（8，0）．②當OC=OM時，可得M₂（5，0），M₃（-5，0）．②當MC=MO時，設M₄（x，0），則有x²=（x-4）²+3²，解方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點C（4，-3），
∴-3=$\frac{k}{4}$，
∴k=-12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{12}{x}$，
∵y=ax+b的圖象經過C（4，-3），E（-3，4）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=-3}\\{-3a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+1．

  （2）∵一次函數(shù)的解析式為y=-x+1與y軸交于點A（0，1）
∴S_△COE=S_△AOE+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5．

（3）如圖，∵C（4，-3），
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，

①當CM=OC時，可得M₁（8，0）．
②當OC=OM時，可得M₂（5，0），M₃（-5，0）．
②當MC=MO時，設M₄（x，0），則有x²=（x-4）²+3²，
解得x=$\frac{25}{8}$，
∴M₄（$\frac{25}{8}$，0）．
綜上所述，點M坐標為M₁（8，0）或M₂（5，0）或M₃（-5，0）或M₄（$\frac{25}{8}$，0）．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、三角形的面積、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．