Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，使EF=2DE，連接CE、AF．
（1）證明：AF=CE；
（2）當(dāng)∠B=30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四邊形ACEF是平行四邊形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC=CE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AF=CE；
（2）解：當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴△AEC是等邊三角形，
∴AC=CE，
又∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴四邊形ACEF是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．