Question

11．如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為P，連結(jié)AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可得到解析式；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長(zhǎng)度，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線QC的解析式，將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 （1）設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴y=a（x-1）（x+3）
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3）
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
即y=-x²-2x+3；

（2）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥x軸
∴△QOC∽△COA
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{OQ}{3}=\frac{3}{1}$
∴OQ=9，
∵點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，
∴Q（-9，0）
設(shè)直線DC的解析式為：y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}b=3\\-9k+b=0\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=3\end{array}\right.$
∴直線DC的解析式為：$y=\frac{1}{3}x+3$
∵點(diǎn)D是拋物線與直線DC的交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y=-{x^2}-2x+3\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-\frac{7}{3}\\ y{\;}_1=\frac{20}{9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（不合題意，舍去）
∴點(diǎn)D$（-\frac{7}{3}，\frac{20}{9}）$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．