Question

8．如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c（a＞0）與y軸相交于點C，直線L₁經(jīng)過點C且平行于x軸，將L₁向上平移t（t＞0）個單位得到直線L₂．設L₁與拋物線F的交點為C、D，L₂與拋物線F的交點為A、B，連結AC、BC．
（1）當a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=1，t=2時，判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若△ABC為直角三角形，求t的值；（用含a的式子表示）
（3）在（2）的條件下，若點A關于y軸的對稱點A′恰好在拋物線F的對稱軸上，連結A′C，BD，若四邊形A′CDB的面積為2$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先寫出拋物線解析式，再計算自變量為0時的函數(shù)值得到C點坐標，再計算函數(shù)值為3所對應的自變量的值得到點A、B的坐標分別為A點和B點坐標，接著利用兩點間的距離公式計算出AB、AC、BC，然后利用勾股定理的逆定理可證明△ABC是直角三角形；
（2）根據(jù)題意得∠ACB=90°，設點B的坐標為（m，c+t），把B點坐標代入拋物線解析式得到t=am²+bm，拋物線的對稱軸交AB于E點，連結CE，如圖，則點E的坐標為（-$\frac{2a}$，c+t），根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得到$\sqrt{（-\frac{2a}）^{2}+{t}^{2}}$=m+$\frac{2a}$，變形得到at²=am²+bm，于是有at²=t，然后解關于t的方程即可；
（3）直線AB交y軸于點F，CD交對稱軸于G點，如圖，先證明四邊形A′CDB是平行四邊形，再判斷四邊形A′CDB是菱形，接著判斷△A′CD為等邊三角形，得到∠A′CG=60°，然后在Rt△A′CG中利用三角函數(shù)的定義可計算出A′C=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，則CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，則利用菱形的面積公式得到方程t•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=2$\sqrt{3}$，然后解方程求出t，再利用（2）的結論求出a即可．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，
∵當x=0時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=1，
∴C（0，1），
∵L₁向上平移2個單位得到直線L₂，
∴A、B的縱坐標為3，
當y=3時，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=3，解得x₁=-1，x₂=4，
∴點A、B的坐標分別為A（-1，3）、B（4，3），
∴AB=4-（-1）=5，AC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC為直角三角形，
而∠ABC和∠BAC不可能為直角，
∴∠ACB=90°，
設點B的坐標為（m，c+t），
∴c+t=am²+bm+c，即t=am²+bm，
拋物線的對稱軸交AB于E點，連結CE，如圖，點E的坐標為（-$\frac{2a}$，c+t），
∵△ABC為直角三角形，
∴EC=EB，即$\sqrt{（-\frac{2a}）^{2}+{t}^{2}}$=m+$\frac{2a}$，
∴t²=m²+$\frac{a}$m，即at²=am²+bm，
∴at²=t，解得t₁=0，t₂=$\frac{1}{a}$，
即t的值為$\frac{1}{a}$；
（3）直線AB交y軸于點F，CD交對稱軸于G點，如圖，
依題意，點A'與點E重合，
∵A'在拋物線F的對稱軸上，A與A'關于y軸對稱，
∴AA′=2FA′，
∴BA′=2FA′，
∵CD=2CG，
而CG=FA′，
∴BA′=CD，
∴∵CD∥x軸，
∴四邊形A′CDB是平行四邊形，
∵CA′=BA′，
∴四邊形A′CDB是菱形，
∴A′C=CD，
而A′C=A′D，
∴△A′CD為等邊三角形，
∴∠A′CG=60°，
在Rt△A′CG中，∴sin∠A′CG=$\frac{A′G}{A′C}$，
∴A′C=$\frac{t}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∵四邊形A′CDB的面積為2$\sqrt{3}$，
∴t•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=2$\sqrt{3}$，解得t=$\sqrt{3}$，
而t=$\frac{1}{a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)的幾何變換和等邊三角形的判定與性質；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距離公式，會運用勾股定理的逆定理證明直角三角形．