Question

如圖，線段AB在直線L上，點C是直線L上一動點．
（1）AD⊥AB，AD=AB，CE⊥CD，BE⊥BD，試判斷線段CD和CE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）過點C作CF⊥BD于F，則線段DF、CF、BE之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系，猜想結(jié)論并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點C作CH⊥AB交BD于H，判斷出△BCH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，然后求出∠CBE=∠CHD=135°，再根據(jù)等角的余角相等求出∠E=∠CDH，然后利用“角角邊”證明△BCE和△HCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=CD；
（2）過點C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DH=BE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得FH=CF，然后根據(jù)DF=DH+FH等量代換即可得證；

解答：解：（1）如圖，過點C作CH⊥AB交BD于H，
∵AD⊥AB，AD=AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BC=CH，∠CBH=∠CHB=45°，
∵BE⊥BD，
∴∠CBE=∠CHD=135°，
∵CE⊥CD，BE⊥BD，
∴∠E=∠CDH，
在△BCE和△HCD中，

∠E=∠CDH ∠CBE=∠CHD=135° BC=CH

，
∴△BCE≌△HCD（AAS），
∴CE=CD；
（2）DF=BE+CF，
理由：過點C作CH⊥AB交BD于H，同（1）可得△BCE和△HCD全等，
所以DH=BE，
∵△BCH是等腰直角三角形，CF⊥BD，
∴FH=CF，
∵DF=DH+FH，
∴DF=BE+CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形，此類題目，各小問的求解思路相同是解題的關(guān)鍵．