Question

19．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=1，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，過A、C、D三點(diǎn)作⊙O，點(diǎn)P為AC所對(duì)的優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為線段AC、AP的中點(diǎn)，則MN的最大值為1．

Answer 1

分析 先判斷出三角形AOD是等邊三角形，再求出OA=1，從而只要CP最大，MN最大，圓中最大的弦是直徑，進(jìn)而求出CP即可．

解答 解：如圖

連接OA，OD，CD，
在Rt△ABC中，BC=1，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=2，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵點(diǎn)D是直角三角形ABC斜邊AB中點(diǎn)，
∴AD=CD=1，
∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，
∴OD必過點(diǎn)M，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OA=1，
∵點(diǎn)M、N分別為線段AC、AP的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$CP，
要MN最大，則CP最大，
而CP是圓的弦，
∴CP是圓的直徑時(shí)最大，
即CP最大=2OA=2，
∴MN最大=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形的外接圓與外心，主要考查了圓的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是求出圓的半徑OA=1．