Question

18．已知拋物線y=mx²-4mx+4m-2（m是常數(shù)）．
（1）求拋物線的頂點坐標；
（2）若m＞$\frac{2}{5}$，且拋物線與x軸交于整數(shù)點（坐標為整數(shù)的點），求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把一般式配成頂點式即可得到頂點坐標；
（2）由于拋物線對稱軸為直線x=2，而拋物線與x軸交于整數(shù)點（坐標為整數(shù)的點），則利用拋物線的對稱性討論：當拋物線與x軸的交點坐標為（1，0），（3，0）；當拋物線與x軸的交點坐標為（0，0），（4，0）；當拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（5，0）等，然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出對應的m的值，再利用m＞$\frac{2}{5}$可確定滿足條件的m的值，從而得到拋物線解析式．

解答 解：（1）y=mx²-4mx-2
=m（x-2）²-2-4m，
所以拋物線的頂點坐標為（2，-2-4m）；
（2）因為拋物線的對稱軸為直線x=2，
所以當拋物線與x軸的交點坐標為（1，0），（3，0），把（1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m-4m+4m-2=0，解得m=2，此時拋物線解析式為y=2x²-8x+6；
當拋物線與x軸的交點坐標為（0，0），（4，0），把（0，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得4m-2=0，解得m=$\frac{1}{2}$，此時拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
當拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（5，0），把（-1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m+4m+4m-2=0，解得m=$\frac{2}{9}$，而m＞$\frac{2}{5}$，故舍去，
所以滿足條件的拋物線解析式為y=2x²-8x+6或y=$\frac{1}{2}$x²-2x．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），對稱軸直線x=-$\frac{2a}$，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-$\frac{2a}$時，y隨x的增大而減��；x＞-$\frac{2a}$時，y隨x的增大而增大；x=-$\frac{2a}$時，y取得最小值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，即頂點是拋物線的最低點．