Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0，4），B（2，3）．
（1）求出直線AB的解析式；
（2）點P是直線AB上的一個動點，在平面直角坐標系內(nèi)，是否存在另一個點Q，使得以A，O，P，Q為頂點的四邊形是菱形（AP為其中一個邊）？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類討論：菱形APQO，菱形APOQ，根據(jù)菱形的四邊相等，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，函數(shù)圖象經(jīng)過點A、B，得

b=4 2k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
故直線AB的解析式是y=-

1

2

x+4；
（2）設(shè)P點坐標是（x，-

1

2

x+4），
①菱形APQO，得AP=PQ=QO=AQ=4，
即x²+（-

1

2

x+4-4）²=16，
解得x₁=

8 5

5

或x=-

8 5

5

，
y₁=-

4 5

5

+4，y₂=

4 5

5

+4
P₁（

8 5

5

，-

4 5

5

+4），P₂（-

8 5

5

，

4 5

5

+4）．
P₁Q₁=4，P₁Q₁∥y軸，得
Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

）．
P₂Q₂=4，P₂Q₂∥y軸，得
Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

）．
②菱形APOQ，AP=OP=PQ=AQ，
PQ在AO的垂直平分線上，得
P₃、Q₃的縱坐標是2．
當y=2時，-

1

2

x+4=2，解得x=4，P₃（4，2）．
P₃、Q₃關(guān)于y軸對稱，Q₃（-4，2）；
綜上所述：Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

），Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

），Q₃（-4，2）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，利用了菱形的性質(zhì)：菱形對邊平行，菱形的四邊相等．