Question

17．定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m=-3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；②當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是x=-$\frac{1}{8}$；③當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于$\frac{3}{2}$；④當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＜$\frac{1}{4}$時(shí)，y隨x的增大而增大．
其中正確的結(jié)論有①③④．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
②首先求得對(duì)稱軸，比較即可；
③令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題；
④首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
①當(dāng)m=-3時(shí)，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；此結(jié)論正確；
②當(dāng)m=2時(shí)，y=4x²-x-3的對(duì)稱軸是x=$\frac{1}{8}$，此結(jié)論錯(cuò)誤；
③當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=$\frac{（m-1）±（m+3）}{4m}$，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于$\frac{3}{2}$，此結(jié)論正確；
④當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：$\frac{m-1}{4m}$，在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即對(duì)稱軸在x=$\frac{1}{4}$右邊，因此函數(shù)在x=$\frac{1}{4}$左邊y隨x的增大而增大，此結(jié)論正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．