Question

函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k；（k≠0，1）．則稱拋物線y₁，y₂互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，則下列關(guān)于“關(guān)聯(lián)拋物線”的說法不正確的是（　　）

• A、y₁，y₂開口方向、開口大小不一定相同
• B、若當x=t時y₂有最值，那么此時y₁也有最值
• C、如果y₂的最值為m，則y₁的最值為km
• D、如果y₂與x軸的兩交點間距離為d，則y₁與x軸的兩交點間距離為|k|d

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，而k≠1，則a₁≠a₂，于是根據(jù)二次項系數(shù)的意義對A進行判斷；利用比例的性質(zhì)得-

b1

2a1

=-

b2

2a2

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到“關(guān)聯(lián)拋物線”的對稱軸相同，于是可對B進行判斷；由比例的性質(zhì)得到a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，再利用頂點的坐標公式對C進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸兩交點間的距離公式對D進行判斷．

解答：解：A、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，而k≠1，則a₁≠a₂，所以y₁，y₂開口方向不一定相同，開口大小不相同，所以A選項的說法正確；
B、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，則

b1

a1

=

b2

a2

，即-

b1

2a1

=-

b2

2a2

，所以“關(guān)聯(lián)拋物線”的對稱軸相同，所以B選項的說法正確；
C、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，則a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，y₁的最值=

4a1c1-b12

4a1

=

4ka2•kc2-(kb2)2

4ka2

=k•

4a2c2-b22

4a2

=km，所以C選項的說法正確；
D、由于

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k，則a₁=kb₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，y₁與x軸的兩交點間距離=

4a1c1-b12

|a1|

=

k2(4a2c2-b22)

|ka2|

=

4a2c2-b22

|a2|

=d，所以D選項的說法錯誤．
故選D．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減�。粁＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最低點．當a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．也考查了拋物線與x軸兩交點間的距離公式．