Question

3．已知在△ABC中，D為邊BC延長線上一點，點O是邊AC上的一個動點，過O做直線MN∥BC，設(shè)MN與∠BCA的平分線相交于點E，與∠ACD的平分線相交于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）試確定點O在邊AC上的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．
（3）在（2）的條件下，且△ABC滿足∠ACB=90°條件時，矩形AECF是正方形？．

Answer 1

分析 （1）角平分線到角兩邊的距離相等，再利用全等三角形即可求解．
（2）探究性問題，歸根究底還是對矩形性質(zhì)的判定，再平行四邊形的基礎(chǔ)上，加上其對角線平分且相等即可．
（3）正方形的判定，在（2）的基礎(chǔ)上，即在矩形的基礎(chǔ)上補充對角線垂直即可．

解答 解：（1）如圖所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，F(xiàn)K⊥AC，F(xiàn)H⊥BC，
因為直線EC，CF分別平分∠ACB與∠ACD，所以EG=EJ，F(xiàn)K=FH，
在△EJO與△FKO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{∠EJO=∠FKO}\\{EJ=FK}\end{array}\right.$，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF；

（2）當OA=OC，OE=OF時，四邊形AECF是矩形，
證明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵直線MN與∠BCA的平分線相交于點E，與∠DCA（△ABC的外角）的平分線相交于點F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形；

（3）由（2）可知，四邊形AECF是矩形，要使其為正方形，再加上對角線垂直即可，即∠ACB=90°．
故答案為：∠ACB=90°

點評 此題考查正方形的判定問題，掌握角平分線到角兩邊距離相等，以及正方形，矩形的性質(zhì)及判定定理．