Question

16．如圖，AB是⊙的直徑，CD是∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AB=4，∠E=75°，則CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖連接OC、OD，CD與AB交于點(diǎn)F．首先證明∠OFD=60°，再證明∠FOC=∠FCO=30°，求出DF、CF即可解決問題．

解答 解：如圖連接OC、OD，CD與AB交于點(diǎn)F．

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DB}$，
∴OD⊥AB，
∵DE是切⊙O切線，
∴DE⊥OD，
∴AB∥DE，∵∠E=75°，
∴∠ABC=∠E=75°，∠CAB=15°，
∴∠CFB=∠CAB+∠ACF=15°+45°=60°，
∴∠OFD=∠CFB=60°，
在RT△OFD中，∵∠DOF=90°，OD=2，∠ODF=30°，
∴OF=OD•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DF=2OF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∵∠COB=∠CAB+∠ACO=30°，
∴∠FOC=∠FCO，
∴CF=FO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=CF+DF=2$\sqrt{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，能求出DF、OF是解此題的關(guān)鍵，注意：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．