Question

11．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師帶領(lǐng)大家探究《折線中的數(shù)學(xué)問題》，出示了如圖1所示的長方形紙條ABCD，其中AD=BC=3，AB=CD=9，然后在紙條上任意畫一條截線段MN，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．如圖2所示：
（1）點(diǎn)N到MK的距離是3；
（2）改變折痕MN的位置，△MNK始終什么三角形，請(qǐng)說明理由；
應(yīng)用：
（3）愛動(dòng)腦筋的小明在研究△MNK的面積S時(shí)，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個(gè)不變的值．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研究出△KMN的面積S的最小值為$\frac{9}{2}$，此時(shí)∠1的大小可以為45或135°；
（4）小明繼續(xù)動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了△MNK面積S有最大值．請(qǐng)你寫出這個(gè)最大值為7.5．

Answer 1

分析 （1）作NE⊥KM于E，NF⊥AB于F，如圖所示：則NF=BC=3，由折疊的性質(zhì)得：∠KMN=∠1，∴NE=NF=3，即點(diǎn)N到MK的距離是3；故答案為：3；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出KM=KN；
（3）利用當(dāng)△KMN的面積最小值為$\frac{9}{2}$時(shí)，KN=BC=3，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理當(dāng)將紙條向下折疊時(shí)，∠1=∠NMB=135°；
（4）分情況討論：①將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合；②將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC兩種情況討論求解．

解答 解：（1）作NE⊥KM于E，NF⊥AB于F，如圖1所示：
則NF=BC=3，
由折疊的性質(zhì)得：∠KMN=∠1，
∴NE=NF=3，即點(diǎn)N到MK的距離是3；
故答案為：3；
（2）△MNK始終是等腰三角形；理由如下：
∵長方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠1=∠MNK，
∵∠1=∠KMN，
∴∠MNK=∠KMN，
∴KM=KN；即△MNK是等腰三角形；
（3）如圖2，當(dāng)△KMN的面積最小值為$\frac{9}{2}$時(shí)，KN=BC=3，故KN⊥B′M，
∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，
∴∠1=∠NMB=45°，
同理當(dāng)將紙條向下折疊時(shí)，∠1=∠NMB=135°
故答案為：45或135；   
（4）分兩種情況：
①如圖3，將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合．
MK=MB=x，則AM=9-x．
由勾股定理得：：3²+（9-x）²=x²，
解得x=5．
∴MD=ND=5．
S_△MNK=S_△MND=$\frac{1}{2}$×3×5=7.5．
②如圖4，將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC．
MK=AK=CK=x，則DK=9-x．
同理可得MK=NK=5．
∵M(jìn)D=3，
∴S_△MNK=$\frac{1}{2}$×3×5=7.5．
△MNK的面積最大值為7.5；
故答案為：7.5．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計(jì)算，注意分類思想的運(yùn)用，本題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．