Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓O于點E，DF切半圓O于點F，∠B=45°．
（Ⅰ）求∠D的大��；
（Ⅱ）若OC=CE，BF=2$\sqrt{2}$，求DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先證明DF∥AB，再根據(jù)∠D+∠DCO=180°，DC⊥AB即可解決問題．
（Ⅱ）在RT△BOF中，求出OF，在RT△EOC中求出CE，即可解決問題．

解答 解：（Ⅰ）∵DF是⊙O切線，
∴DF⊥OF，
∴∠DFO=90°，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠B=45°，
∴∠FOB=180°-∠OFB-∠B=180°-45°-45°=90°，
∴∠DFO=∠FOB，
∴DF∥AB，
∴∠D+∠DCO=180°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCO=90°，
∴∠D=90°．
（Ⅱ）如圖，連接OE，在RT△OBF中，sinB=$\frac{OF}{BF}$，
∴OF=BFsinB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
在RT△ECO中，∵OC=CE，設(shè)OC=CE=x，
∵OE=OF=2，
∴x²+x²=2²，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴EC=$\sqrt{2}$，
∵∠D=∠DFO=∠DCO=90°，
∴四邊形DCOF是矩形，
∴CD=OF=2，
∴DE=CD-EC=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．