Question

如圖①，已知點O為菱形ABCD的對稱中心，∠A=60°，將等邊△OEF的頂點放在點O處，OE，OF分別交AB，BC于點M，N．
（1）求證：OM=ON；
（2）將圖①中的△OEF繞O點順時針旋轉至圖②所示的位置，請寫出線段BM，BN與AB之間的數量關系，并進行證明．

Answer 1

考點：菱形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）取BC的中點G，連接OG，證明△OBM≌△OGN，根據全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）同（1）的方法取BC中點G，同理可證：△OBM≌△OGN即可得到．

解答：（1）證明：取BC的中點G，連接OG
∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，
∵點O為菱形ABCD的對稱中心，
∴OD=OB
∴OG∥CD    
∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB
∵△OEF是等邊三角形，
∴∠EOF=60°，
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中，

∠BOM=∠NOG OD=OB ∠BGO=∠ABD

，
∴△OBM≌△OGN（ASA），
∴OM=ON；

（2）證明：取BC中點G，
同理可證：△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN-NG，
∴BN-BM=BG=

1

2

AB．

點評：本題考查了全等三角形的全等的判定與性質，證明線段相等的問題常用的方法是轉化為證三角形全等，正確作出輔助線是關鍵．