Question

9．已知△ABC，D、E分別為AC、AB中點，BD和CE交于點O，BD和CE是一元二次方程x²-kx+24=0的兩個不等實根，則△BOE面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知條件得出O為△ABC的重心，由重心定理得出OE=$\frac{1}{3}$CE，OB=$\frac{2}{3}$BD，由根與系數(shù)的關(guān)系得出BD•CE=24，若△BOE面積最大，則△BOE是直角三角形，分兩種情況討論，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵D、E分別為AC、AB中點，BD和CE交于點O，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DOE∽△BOC，
∴OD：OB=OE：OC=DE：BC=1：2，
∴OE=$\frac{1}{3}$CE，OB=$\frac{2}{3}$BD，
∵BD和CE是一元二次方程x²-kx+24=0的兩個不等實根，
∴BD•CE=24，
若△BOE面積最大，則△BOE是直角三角形，
分兩種情況：
①若∠BEO=90°，則CE⊥AB，
∵E是AB的中點，
∴AC=BC，
同理：AB=BC，
則△ABC是等邊三角形，
∴BD=CE，不合題意；
②當∠BOE=90°時，△BOE的面積=$\frac{1}{2}$OE•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$CE×$\frac{2}{3}$BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×24=$\frac{8}{3}$；
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、根與系數(shù)的關(guān)系、等邊三角形的判定等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．