Question

5．要使方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ay=5}\\{y-x=6a}\end{array}\right.$有正整數解，則a的值是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 審題可知這是一道含有字母系數的二次方程組，首先代入消元得到含有字母a的一元二次方程：x²+2ax+12a²-5=0，用公式法求出方程的根-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$：利用判別式分析得出a＜$\frac{8}{11}$，再根據“解為正整數，y-x=6a”得出6a為整數，a的絕對值只能取值為：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，最后代入根的公式，根據解為正整數進行檢驗．

解答 解：
方程組消元得：x²+2ax+12a²-5=0
用公式法求得方程的根為：x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，由△=-44a²+20≥0，得出|a|≤$\sqrt{\frac{5}{11}}$，
由x和y都是正整數知y-x=6a為整數，所以|a|的可能值為：$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$
把a的值代入求根公式計算：當a=$\frac{1}{2}$時，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=1（滿足題意）或x=-2（舍去）
當a=$\frac{1}{6}$時，x=-a±$\sqrt{5-11{a}^{2}}$，x=2（滿足題意）或x=$-\frac{7}{3}$（舍去）
依次驗證得出：只有$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{6}$滿足題意．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$．

點評 此題主要考查了方程組的消元法，以及對于一元二次方程的根的探索研究，在解決此題時，認真分析，分別討論是關鍵，做題一定不要漏解．