Question

（1）如圖①，在△ABC中，AB=CD，∠BAD=∠BDA，AE是BD邊的中線．探究AC與AE的數(shù)量關(guān)系并證明．

（2）如圖②，在△ABC中，AB=k•AD，∠BAD=∠BDA，AE是BD邊的中線，且∠EAD=∠C．探究AC與AE的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作AC邊上的中線，利用三角形的中位線的性質(zhì)，得出相應(yīng)的邊和角的關(guān)系，進一步證出△ADF≌△ADE，得出結(jié)論即可；
（2）易得△ACE∽△DAE，則可得

AC

AE

=

2AD

2ED

=

2AD

BD

=

2AD

AB

=

2AD

kAD

=

2

k

．

解答：（1）答：AC=2AE．
證明：在△ACD中，作AC邊上的中線DF，
∵∠BAD=∠BDA，
∴△ABD為等腰三角形，
∴AB=BD=CD，于是D為BC邊上的中點，
∴DF為△ABC的中位線，DF=

1

2

AB=

1

2

BD，∠FDC=∠B，
∵AE是△ABD的中線，
∴ED=DF，
由于∠BDA+∠ADF+∠FDC=180°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∠FDC=∠B，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADF=∠BDA，
在△ADF和△ADE中，

AD=AD ∠ADE=∠ADE ED=FD

，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE=AF，
∴AC=2AE．

（2）解：∵∠EAD=∠C，∠AED=∠CEA，
∴△ACE∽△DAE，
∴

AC

AD

=

AE

ED

，
即

AC

AE

=

AD

ED

，
∴

AC

AE

=

2AD

2ED

=

2AD

BD

=

2AD

AB

=

2AD

kAD

=

2

k

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．