Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點E、F分別在線段BC、CD上，將△CEF沿EF翻折，點C的落點為M
（1）如圖1，當(dāng) CE=5，M點落在線段AD上時，求MD的長
（2）如圖2，若點F是CD的中點，點E在線段BC上運動，將△CEF沿EF折疊，
①連接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此時CE的長，如果不可以，說明理由
②連接MD，如圖3，求四邊形ABMD的周長的最小值和此時CE的長

Answer 1

分析 （1）如圖1，作EN⊥AD于點N，由矩形的性質(zhì)就可以得出EN=4，AN=3，由勾股定理就可以求出MN的值，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時，由∠EMF=90°，就可以得出B、M、F在同一直線上，由勾股定理就可以求出BF，求出BM，在Rt△BME中由勾股定理就可以求出結(jié)論；如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時，∠MEC=90°就可以得出四邊形ECFM是正方形，直接得出CE的值；
②由四邊形ABMD的周長的最小就要BM+MD最小．得出B、M、D在同一直線上，就有點M在BD上，連結(jié)MC，就可以得出EF垂直平分MC交EF于點G，就有FG是△MDC的中位線，得出GF∥BD，就有BE=EC進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，作EN⊥AD于點N，
∴∠ANE=∠ENM=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴AB=NE=4，AN=BE．
∵EC=5，
∴BE=3，
∴AN=3．
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM=5．
在Rt△EMN中，由勾股定理，得
MN=3，
∴MD=8-3-3=2．
答：MD的長為2；
（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時，
∵∠EMF=90°，
∴∠BMF=180°，
∴B、M、F在同一直線上．
∵F是BC的中點，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，
∴△EFC≌△EFM，
∴MF=CF=2，EC=EM．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF=2$\sqrt{17}$．
∴BM=2$\sqrt{17}$-2．
設(shè)EC=EM=x，則BE=8-x，在Rt△BME中，由勾股定理，得
（8-x）²-x²=（2$\sqrt{17}$-2）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$．
∴CE=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時，
∴∠MEC=90°
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，
∴△EFC≌△EFM，
∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，
∴四邊形ECFM是正方形，
∴MF=CE=2．
∴CE=2或$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
②如圖4，∵四邊形ABMD的周長最小，
∴BM+MD最小，
∴B、M、D在同一直線上，
∴點M在BD上．
連結(jié)MC，
∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM，F(xiàn)C=FM．
∴EF垂直平分MC，
∴MG=CG，
∴GF是△CDM的中位線，
∴FG∥BD，
∴BE=CE．
∵BC=8，
∴CE=4．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD=4$\sqrt{5}$．
∴四邊形ABMD的周長的最小值為：4$\sqrt{5}$+4+8=4$\sqrt{5}$+12．
答：四邊形ABMD的周長的最小值為（4$\sqrt{5}$+12），此時CE的長為4．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，分類討論思想的運用，解答時運用勾股定理求解是關(guān)鍵．