Question

20．如圖，△ABC，是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M．
（1）求證：$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)；
（3）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，當(dāng)HE=a時(shí)從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大？若存在，試求出a；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得HG∥EF，則可判斷△AHG∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)HE=x，HG=2x，由（1）的結(jié)論得到$\frac{30-x}{30}$=$\frac{2x}{40}$，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計(jì)算出x=12，再計(jì)算這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)HE=a，由（1）的結(jié)論得到$\frac{30-a}{30}$=$\frac{HG}{40}$，則HG=-$\frac{4}{3}$a+30，根據(jù)矩形的面積公式得到S_矩形HEFG=-$\frac{4}{3}$a²+30a，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 （1）證明：∵四邊形HEFG為矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）解：設(shè)HE=x，HG=2x，
則$\frac{30-x}{30}$=$\frac{2x}{40}$，解得x=12，
∴這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng)=2x+4x=6x=72（cm）；
（3）存在．
當(dāng)HE=a，則$\frac{30-a}{30}$=$\frac{HG}{40}$，
∴HG=-$\frac{4}{3}$a+30，
∴S_矩形HEFG=a（-$\frac{4}{3}$a+30）=-$\frac{4}{3}$a²+30a，
當(dāng)a=-$\frac{30}{2×（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{45}{4}$時(shí)，S_矩形HEFG最大，
即當(dāng)HE=$\frac{45}{4}$cm時(shí)從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用平行構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)．也考查了二次函數(shù)的最值．