Question

如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，葉片端點A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．
（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動過程中，點A到桌面的最遠(yuǎn)距離為

 

cm，最近距離為

 

cm．
（2）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)∠AOE=45°時，求點A到桌面的距離（結(jié)果保留根號）．
（3）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點A相對于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）點A到最上面時到桌面的距離最遠(yuǎn)，在最下面時，距離桌面最近；
（2）作A₁F⊥MN于點F，A₁G⊥OE于點G，在Rt△A₁OG中，利用三角函數(shù)可求得OG，從而得出點A到桌面的距離A₁F；
（3）作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20．作A₂D⊥OE于點D，則DE=A₂H．在Rt△A₂OD中，由特殊角的三角函數(shù)得∠A₂OD=60°，由圓的軸對稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．從而得出點A所經(jīng)過的路徑長．

解答：解：（1）點A到最上面時到桌面的距離最遠(yuǎn)，此時最遠(yuǎn)距離=OE+OA=35cm，
點A到最下面時到桌面的距離最近，此時最近距離=OE-OA=15cm，

（2）如圖1，點A運動到點A₁的位置時∠AOE=45°，
作A₁F⊥MN于點F，A₁G⊥OE于點G，
∴A₁F=GE，
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×

2

2

=5

2

，
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5

2

，
∴A₁F=GE=25-5

2

，
∴點A到桌面的距離是（25-5

2

）厘米．

（3）如圖2，點A在旋轉(zhuǎn)過程中運動到點A₂、A₃的位置時，點A到桌面的距離等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20，
作A₂D⊥OE于點D，
∴DE=A₂H，
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD=

OD

OA2

=

5

10

=

1

2

．
∴∠A₂OD=60°，
由圓的軸對稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°，
∴點A所經(jīng)過的路徑長為

120π×10

180

=

20π

3

．

點評：本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，涉及了解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用，有一定難度．