Question

19．如圖，在?ABOC中，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的一支經(jīng)過C，E兩點(diǎn)，若?ABCD的面積為10，求k的值．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，作CF⊥y軸于點(diǎn)F；過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，作EN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$）（n＜m＜0）．由四邊形ABOC為平行四邊形可得出“EN為梯形CFOB的中位線，EM為△BCD的中位線”，結(jié)合三角形中位線以及梯形中位線的性質(zhì)可得出m、n的關(guān)系，由三角形的面積公式用m、n、k表示出S_△OBC，再結(jié)合?ABCD的面積為10，即可求出k的值．

解答 解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，作CF⊥y軸于點(diǎn)F；過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，作EN⊥y軸于點(diǎn)N，如圖所示．

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，$\frac{k}{n}$）（n＜m＜0）．
∵四邊形ABOC為平行四邊形，
∴BE=EC，EN為梯形CFOB的中位線，EM為△BCD的中位線．
∵CD=2EM，即-$\frac{k}{m}$=-2$\frac{k}{n}$，
∴n=2m．
∴OB=2EN-CF=-（2n-m）=-3m．
${S}_{△BOC}=\frac{1}{2}{S}_{平行四邊形ABOC}$=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$×（-3m）•$\frac{k}{m}$=$\frac{1}{2}$×10=5，
解得：k=-$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、梯形中位線的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出m、n之間的關(guān)系．本題屬于中檔題，有點(diǎn)難度，解決該題型題目時(shí)，需要構(gòu)建一個(gè)梯形，根據(jù)梯形與三角形中位線的性質(zhì)用m、n表示出各邊長(zhǎng)，再結(jié)合三角形的面積公式求出k值．