Question

2．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作矩形ABCD，使AD=$\sqrt{5}$．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式求出OA、OB，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠BAD=90°，然后求出∠BAO=∠ADH，再求出△AOB和△DHA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AH、DH，再求出OH，然后根據(jù)點(diǎn)D在第二象限寫出即可．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-4，
令x=0，則y=2，
所以O(shè)A=4，OB=2，
根據(jù)勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAH+∠BAO=90°，
∵DH⊥x軸，
∴∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BOA=90°，
∴△AOB∽△DHA，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{AH}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{DH}{4}$=$\frac{AH}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
解得DH=2，AH=1，
所以，OH=OA+AH=4+1=5，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-5，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)并確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵．