Question

3．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所對的邊b，c滿足b²+c²-4（b+c）+8=0．
（1）證明：△ABC是邊長為2的等邊三角形．
（2）若b，c兩邊上的中線BD，CE交于點O，求OD：OB的值．

Answer 1

分析 （1）由b²+c²-2（b+c）+2=0，可以判定b=c，∠A=60°可以確定△ABC是邊長為1的等邊三角形；
（2）連接DE，點D、E分別是邊AC、AB邊上的中點，所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，∴△DEO∽△BOC，即可得到答案．

解答 解：（1）∵b²+c²-4（b+c）+8=0，
∴（b-2）²+（c-2）²=0，
∴b=c=2，
又∵∠A=60°，
所以△ABC是邊長為2的等邊三角形；
（2）連接DE，
∵點D、E分別是邊AC、AB邊上的中點，
所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE∥BC，
∴△DEO∽△BOC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$

點評 本題考查因式分解的應用以及相似三角形的綜合應用，解答本題的關在在于熟記公式的轉化和相似三角形的判定方法和性質的綜合應用．