Question

如圖，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，BD=2，DC=3，求AD的長．小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB，AC為對稱軸，作出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F(xiàn)，延長EB，F(xiàn)C交于點G，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的值．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,勾股定理,正方形的判定

專題：

分析：（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．

（2）解：設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x．
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x-2，CG=x-3
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²．
化簡得，x²-5x-6=0
解得x₁=6，x₂=-1（舍去）
所以AD=x=6．

點評：本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型的解題思想．要能靈活運用．