Question

已知a，b，c為三角形的三邊，若a=2，b=3，當(dāng)c為何值時，△ABC是：
（1）銳角三角形？
（2）直角三角形？
（3）鈍角三角形？

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理

專題：

分析：分三種情況討論：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，（1）①a²+b²＞c²，②a²+c²＞b²，③c²+a²＞b²；（2）①a²+b²=c²，②a²+c²=b²，③c²+a²=b²；（3）①a²+b²＜c²，②a²+c²＜b²，③c²+a²＜b²．然后即可求出c的范圍．

解答：解：（1）分三種情況討論：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c，
當(dāng)a²+b²＞c²時，△ABC是銳角三角形，
即c²＜2²+3²=13，
∴c＜

13

，
∵a＜b＜c
∴3＜c＜

13

．
∴當(dāng)3＜c＜

13

時，△ABC是銳角三角形，
②a＜c＜b
當(dāng)a²+c²＞b²時，△ABC是銳角三角形，
即c²＞b²-a²=3²-2²=5，
∴c＞

5

，
∵a＜c＜b，
∴

5

＜c＜3，
∴當(dāng)

5

＜c＜3，時，△ABC是銳角三角形，
③c＜a＜b
當(dāng)c²+a²＞b²時，△ABC是銳角三角形，
即c²＞b²-a²=3²-2²=5，
∴c＞

5

，
∵c＜a＜b，
∴

5

＜c＜2（舍去），
∴當(dāng)

5

＜c＜3，或3＜c＜

13

時，△ABC是銳角三角形；
（2）分三種情況討論：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c
當(dāng)a²+b²=c²時，△ABC是直角三角形，
即c²=2²+3²=13，
∴c=

13

，
∴當(dāng)c=

13

時，△ABC是直角三角形，
②a＜c＜b
當(dāng)a²+c²=b²時，△ABC是直角三角形，
即c²=b²-a²=3²-2²=5，
∴c=

5

，
∴當(dāng)c=

5

時，△ABC是直角三角形，
③c＜a＜b
當(dāng)c²+a²=b²時，△ABC是直角三角形，
即c²=b²-a²=3²-2²=5，
∴c=

5

，
∴當(dāng)c=

5

時，△ABC是直角三角形，
∴當(dāng)c=

13

或

5

時，△ABC是直角三角形；
（3）分三種情況討論：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c，
當(dāng)a²+b²＜c²時，△ABC是鈍角三角形，
即c²＞2²+3²=13，
∴c＞

13

，
∵a＜b＜c
∴c＞

13

．
∴當(dāng)c＞

13

時，△ABC是鈍角三角形，
②a＜c＜b
當(dāng)a²+c²＜b²時，△ABC是鈍角三角形，
即c²＜b²-a²=3²-2²=5，
∴c＜

5

，
∵a＜c＜b，
∴2＜c＜

5

，
∴當(dāng)2＜a＜

5

，時，△ABC是鈍角三角形，
③c＜a＜b
當(dāng)c²+a²＜b²時，△ABC是鈍角三角形，
即c²＜b²-a²=3²-2²=5，
∴c＜

5

，
∵c＜a＜b，
∴0＜c＜2，
∴當(dāng)0＜c＜2時，△ABC是鈍角三角形，
∴當(dāng)c＞

13

或當(dāng)2＜a＜

5

或0＜c＜2時，△ABC是鈍角三角形．

點評：此題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：分三種情況討論：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b．