Question

14．如圖1，已知拋物線y=$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）（a＞0）與x軸從左至右交于A，B兩點，與y軸交于點C．
（1）若拋物線過點T（1，-$\frac{5}{4}$），求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得以A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，在（1）的條件下，點P的坐標(biāo)為（-1，1），點Q（6，t）是拋物線上的點，在x軸上，從左至右有M、N兩點，且MN=2，問MN在x軸上移動到何處時，四邊形PQNM的周長最�。空堉苯訉懗龇�合條件的點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，把T的坐標(biāo)代入解析式，求出a的值，寫出解析式；
（2）根據(jù)點D在第二象限，∠DAB為鈍角，所以當(dāng)A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似時，只能∠DAB與∠ACB對應(yīng)，所以分以下兩種情況討論：①如圖2，當(dāng)△BDA∽△ABC時，∠BAC=∠ABD，
②當(dāng)△DBA∽△ABC時，如圖3，∠ABC=∠ABD，分別列比例式，得方程求解；
（3）先求出Q的坐標(biāo)為（6，10），通過軸對稱作出使四邊形PQNM的周長最小時的M、N的位置，因為PQ、NM為定值，要想周長最小，則需要PM+NQ最小，即想辦法做到一直線上，因此作P關(guān)于x軸的對稱點P′，找到P′G=2，且P′G∥x軸，利用平移構(gòu)建平行四邊形P′GNM，從而得到x軸上的M和N，求出M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，把T（1，-$\frac{5}{4}$）代入拋物線y=$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）得：
-$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{a}$（1-2）（1+a），
解得：a=4，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（2）當(dāng)x=0時，y=$\frac{1}{a}$×（-2）×a=-2，
∴C（0，-2），
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）=0，
x₁=2，x₂=-a，
∴A（-a，0）、B（2，0），
如圖2，過D作DE⊥x軸于E，
設(shè)D（m，n），
∵點D在第二象限，∠DAB為鈍角，
∴分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)△BDA∽△ABC時，∠BAC=∠ABD，
∴tan∠BAC=tan∠ABD，即$\frac{OC}{OA}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{2}{a}=\frac{n}{-m+2}$，
n=$\frac{4-2m}{a}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4-2m}{a}}\\{n=\frac{1}{a}（m-2）（m+a）}\end{array}\right.$，
解得：m=-2-a或2，
∴E（-2-a，0），
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∵$\frac{AO}{AC}=\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{-m+2}{BD}$=$\frac{a+4}{BD}$，
BD=$\frac{（a+4）\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$，
∵△BDA∽△ABC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB²=AC•BD，
即（a+2）²=$\sqrt{{a}^{2}+4}$•$\frac{（a+4）\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$，
解得：0=16，此方程無解；
②當(dāng)△DBA∽△ABC時，如圖3，∠ABC=∠ABD，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
有BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠ABC=∠ABD=45°，
∴DE=BE，
n=-m+2，
∴BD=$\sqrt{2{n}^{2}}$，
∵△DBA∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
∴AB²=BD•BC，
∴（a+2）²=$\sqrt{2{n}^{2}}$•2$\sqrt{2}$=4n，
則$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}=4n}\\{n=-m+2}\\{n=\frac{1}{a}（m-2）（m+a）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4\sqrt{2}-4}\\{n=6+4\sqrt{2}}\\{a=2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
則a=2+2$\sqrt{2}$；
（3）當(dāng)x=6時，y=$\frac{1}{4}$（6-2）（6+4）=10，
∴Q（6，10），
如圖4，作P關(guān)于x軸的對稱點P′，過P′作P′G∥x軸，且P′G=2，連接GQ交x軸于N，過P′作P′M∥GN，交x軸于M，
此時，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM為定值，所以此時，四邊形PMNQ的周長最小，
∵P（-1，1），
∴P′（-1，-1），
∵P′G∥MN，P′M∥GN，
∴四邊形P′GNM是平行四邊形，
∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM，
∴G（1，-1），
設(shè)GQ的解析式為：y=kx+b，
把G（1，-1）和Q（6，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-1}\\{6k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{5}}\\{b=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴GQ的解析式為：y=$\frac{11}{5}$x-$\frac{16}{5}$，
當(dāng)y=0時，x=$\frac{16}{11}$，
∴N（$\frac{16}{11}$，0），
∵MN=2，
∴M（-$\frac{6}{11}$，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)利用待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)兩個三角形相似時，根據(jù)已知條件分類討論；對于圖形周長的最小值問題，要先確定哪此邊是定值，哪些邊是不確定值，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．