Question

14．如圖所示，AB為半圓O的直徑，C是半圓上一點，AD平分∠CAB交半圓于點D，過點D作DE⊥AC，DE交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，DE=$\sqrt{3}$，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠EDO=90°，即可證得DE是⊙O的切線；
（2）連接BC交OD于F，先證得四邊形DECF為矩形，DE=CF=$\sqrt{3}$，∠DFC=90°，進(jìn)而得出OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出BC=2CF=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)勾股定理即可求得線段AC的長．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAD，
∴AE∥OD，
∴∠AED+∠EDO=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接BC交OD于F，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=∠EDO=90°，
∴四邊形DECF為矩形，
∴DE=CF=$\sqrt{3}$，∠DFC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC=2CF=2$\sqrt{3}$，
∵AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定依據(jù)垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和矩形是解題的關(guān)鍵．