Question

17．如圖，△ABC中，∠BAC=45°，過A、B兩點的⊙O交AC于點D，且OD∥BC，OD交AB于點E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若∠OEB=60°，求AD：CD的值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)已知條件得到∠BOD=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OBC=90°，根據(jù)切線的判定定理即刻得到結(jié)論；
（2）連接OA，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠OBA=30°，OE=$\frac{1}{2}$BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA=30°，于是得到AE=OE=$\frac{1}{2}$BE，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OB，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接OA，
∵∠OEB=60°，
∴∠OBA=30°，OE=$\frac{1}{2}$BE，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$BE，
∵DO∥BC，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確的作出輔助線構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．