Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），動(dòng)圓M經(jīng)過A、O，分別與兩軸的正半軸交于點(diǎn)B、C，則BC的取值范圍是5≤BC＜$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 先求出OA=5，由于動(dòng)圓M經(jīng)過點(diǎn)A、O．所以O(shè)A為直徑時(shí)，動(dòng)圓M的直徑最小，此時(shí)BC=OA=5；當(dāng)⊙M與x軸切于點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)圓M的直徑最大，如圖2，作AH⊥OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得BC為⊙M的直徑，則∠BAO=90°，再證明Rt△OAH∽Rt△OBA，利用相似比可計(jì)算出OB=$\frac{25}{3}$，即可得出BC的取值范圍．

解答 解：作AD⊥x軸于D，如圖1所示：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BOC=90°，
∴BC為動(dòng)圓M的直徑；
當(dāng)OA為直徑時(shí)，動(dòng)圓M的直徑最小，此時(shí)BC=OA=5；

當(dāng)⊙M與x軸切于點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)圓M的直徑BC最大，如圖2所示：
作AH⊥OE，
則∠AHO=90°，
∵⊙M與x軸相切，
∴BC為⊙M的直徑，
∴∠BAO=90°，
∵∠AOH=∠BOA，
∴Rt△OAH∽Rt△OBA，
∴AO：OB=OH：AO，即5：OB=3：5，
∴OB=$\frac{25}{3}$，
∴BC的取值范圍為5≤BC＜$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意得出當(dāng)OA為直徑時(shí)，動(dòng)圓M的直徑最小，當(dāng)⊙M與x軸切于點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)圓M的直徑BC最大是解決問題的關(guān)鍵．