Question

17．如圖，AB是⊙O的弦，OA=10，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，且FB=FO，OF的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D，∠B=30°，則陰影部分的面積為（　�。�

• A． 25π-$\frac{100\sqrt{3}}{3}$
• B． 25π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$
• C． 30π-$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
• D． 20π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作OC⊥AB于點(diǎn)C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據(jù)AE=BF可知EC=FC，因?yàn)镺C⊥EF，所以O(shè)E=OF，再由∠EOF=60°即可得出△OEF是等邊三角形；在等邊△OEF中，因?yàn)椤螼EF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOF即可得出結(jié)論．

解答 解：作OC⊥AB于點(diǎn)C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°，
∴△OEF是等邊三角形；
∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°，
∴∠AOF=90°，
∵AO=10，
∴OF=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×10=$\frac{50\sqrt{3}}{3}$，S_扇形AOD=$\frac{90π}{360}$×10²=25π，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOF=25π-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及扇形的面積等知識(shí)，難度適中．