Question

13．在梯形ABCD中AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求證：BC=CD；
（2）E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△EFC的形狀，并證明；
（3）在（2）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值．

Answer 1

分析 （1）此題要證明DC=BC不能用全等三角形的性質，利用tan∠ADC=2求出BC然后再判定相等；
（2）容易證明△DEC≌△BFC，得CE=CF，∠ECD=∠FCB，這樣容易證明△ECF是等腰直角三角形；
（3）由∠BEC=135°得∠BEF=90°，這樣求sin∠BFE，然后利用已知條件就可以求出它的值了．

解答 解：（1）如圖，過A作DC的垂線AM交DC于M，則AM=BC=2．

又tan∠ADC=2，
∴DM=$\frac{2}{2}$=1，
即DC=BC；
（2）等腰直角三角形．
證明：在△DEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDC=∠FBC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BFC，
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；
（3）設BE=k，則CE=CF=2k，
∴EF=2$\sqrt{2}$k，
∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°，
∴∠BEF=90°，
所以BF=$\sqrt{{k}^{2}+（2\sqrt{2}k）^{2}}$=3k，
所以sin∠BFE=$\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)、全等三角形的應用、等腰三角形的判定等知識點的綜合應用及推理能力、運算能力，解決本題的關鍵是作出輔助線．