Question

10分）如圖，已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，若∠B=∠CAE，F(xiàn)E∶FD=4∶3.

（1）求證：AF=DF；

（2）求∠AED的余弦值；

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）證∠DAE=∠ADE,EA=ED,利用“三線合一”性質(zhì)證AF=DF

（2）cos∠AED=，（提示：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BE于N,利用面積法得，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D=3x，可得AN=。由勾股定理的EN= ∴cos∠AED=可求）

試題解析：（1）∵AD為∠BAC的平分線 ∴∠BAD=∠DAC

∵∠ADE=∠B+∠BAD, ∠B=∠CAE ∴∠ADE=∠DAC+∠CAE=∠DAE ∴EA=ED

∴△ADE是等腰三角形 ∵DE是圓的直徑

∴∠DFE是直角 由等腰三角形的“三線合一”的AF=DF

過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BE于N,垂足為D 由FE∶FD=4∶3可設(shè)FE=4x，F(xiàn)D=3x，∴DE=5 x

由（2）可知F是AD的中點(diǎn)，∴AD=6x

即6x4x=5 xAN 解得AN=

∴由勾股定理的EN==

∴cos∠AED==

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理.