Question

14．在正方形ABCD中，AD=2，l是過(guò)AD中點(diǎn)P的一條直線．O是l上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，直線l與⊙O交于點(diǎn)E、F（E、F不與A、D重合，E在F的上面）．
（1）如圖，若點(diǎn)F在BC上，求證：BC與⊙O相切．并求出此時(shí)⊙O的半徑．
（2）若⊙O半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OD，如圖，由點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，再利用正方形的性質(zhì)得AD∥BC，所以O(shè)P⊥BC，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷BC與⊙O相切；設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r，PF=AB=AD=2，OP=2-r，AP=$\frac{1}{2}$AD=1，在Rt△AOP中利用勾股定理得到1²+（2-r）²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$；
（2）如圖，在Rt△OAP中，利用正弦定義可求出∠AOP=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)圓周角定理得∠AFD=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠AED=180°-∠AFD=120°，若當(dāng)交換點(diǎn)E和F的位置時(shí)，∠AED=60°，于是得到∠AED的度數(shù)為120°或60°．

解答 （1）證明：連接OA、OD，如圖，
∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，
∴OP⊥AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴OP⊥BC，
且OF是⊙O半徑，
∴BC與⊙O相切；
設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r，
∵PF=AB=AD=2，
∴OP=2-r，
AP=$\frac{1}{2}$AD=1，
在Rt△AOP中，∵AP²+OP²=AO²，
∴1²+（2-r）²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$，
即設(shè)⊙O的半徑為$\frac{5}{4}$；
（2）解：如圖，在Rt△OAP中，∵sin∠AOP=$\frac{AP}{OA}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOD=120°，
∴∠AFD=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∴∠AED=180°-∠AFD=120°，
當(dāng)交換點(diǎn)E和F的位置時(shí)，∠AED=60°，
∴∠AED的度數(shù)為120°或60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．