Question

已知二次函數(shù)的圖象以A（-1，4）為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)B（2，-5）．
（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當(dāng)-3≤x＜-

1

2

時(shí)，則對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為

 

；
（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，A、B兩點(diǎn)隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象與幾何變換,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：代數(shù)幾何綜合題,待定系數(shù)法

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）²+4，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性和最值問(wèn)題，當(dāng)x=-3時(shí)取得最小值，x=-1時(shí)取得最大值，計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)（-3，0）二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)求出平移后的點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線A′B′的函數(shù)解析式，然后求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)△OA′B′的面積等于兩個(gè)三角形的面積的和列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）²+4，
把點(diǎn)B（2，-5）代入得，a（2+1）²+4=-5，
解得a=-1，
所以，函數(shù)解析式為y=-（x+1）²+4；

（2）二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線x=-1，
∵a=-1＜0，
∴x=-3時(shí)，y有最小值，為-（-3+1）²+4=0，
x=-1時(shí)，y有最大值，為4，
∴對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為0≤y≤4；
故答案為：0≤y≤4；

（3）令y=0，則-（x+1）²+4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴函數(shù)圖象向右平移3個(gè)單位，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
此時(shí)A′（2，4），B′（5，-5），
設(shè)直線A′B′的函數(shù)解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 5k+b=-5

，
解得

k=-3 b=10

，
∴直線A′B′的函數(shù)解析式為y=-3x+10，
令x=0，則-3x+10=0，
解得x=

10

3

，
∴△O A′B′的面積=

1

2

×

10

3

×（4+5）=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的增減性和最值問(wèn)題，（3）確定出平移的距離并把△OA′B′的面積分成兩個(gè)三角形求解是解題的關(guān)鍵．