Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．

（1）如圖1，試說(shuō)明BE²+CF²=EF²；
（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使得EG=DE，連接FG，CG，易證EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根據(jù)勾股定理即可解題；
（2）連接AD，易證∠ADE=∠CDF，即可證明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S_{四邊形AEDF}=

1

2

S_△ABC，再根據(jù)△DEF的面積=

1

2

S_△ABC-S_△AEF，即可解題．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使得EG=DE，連接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，

BD=CD ∠BDE=∠CDG DE=DG

，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG²+CF²=FG²，
∴BE²+CF²=EF²；
（2）解：連接AD，

∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠BAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S_{四邊形AEDF}=

1

2

S_△ABC，
∴S_△AEF=

1

2

×5×12=30，
∴△DEF的面積=

1

2

S_△ABC-S_△AEF=

169

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．