Question

11．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，并求其面積．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0求出y值，由此即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出AC、BC、AB的長(zhǎng)度，結(jié)合AB²=AC²+BC²且AC=BC即可得出△ABC為等腰直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；
令x=0，y=-2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）．
（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），
∴AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，AB=4，
∴AB²=AC²+BC²．
∵AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的判定以及三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．