Question

4．在矩形ABCD中，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF，若點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，則$\frac{AB}{BC}$=（　�。�

• A． 1：$\sqrt{3}$
• B． 2：$\sqrt{3}$
• C． 1：$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，設(shè)EF=x，則EC=2x，F(xiàn)C=3x，利用射影定理求出DF=$\sqrt{3}$x，DC=$\sqrt{6}$x，繼而得出BC=AD=2DF=2$\sqrt{3}$x，AB=DC=$\sqrt{6}$x，即可求得$\frac{AB}{BC}$的值．

解答 解：∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，
設(shè)EF=x，則EC=2x，F(xiàn)C=3x，
∵CF⊥BD，
∴DF²=EF•CF=x•3x=3x²，DC²=CE•FC=2x•3x=6x²，
∴DF=$\sqrt{3}$x，DC=$\sqrt{6}$x，
∴BC=AD=2DF=2$\sqrt{3}$x，AB=DC=$\sqrt{6}$x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}x}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，射影定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)射影定理得出BC和AB的值．