Question

12．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O分別交AC，BC于D、E兩點(diǎn)，過B點(diǎn)的切線交OE的延長線于點(diǎn)F，連接FD，下列結(jié)論：
①OE∥AC；
②兩段劣弧$\widehat{DE}=\widehat{BE}$；
③FD與⊙O相切；
④S_△BOE：S_△BAC=1：4．
其中一定正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①只需運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)就可得到∠OEB=∠ABC=∠ACB，從而可得OE∥AC；②連接OD，只需運(yùn)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)就可∠BOE=∠EOD，從而得到$\widehat{BE}=\widehat{DE}$；③易證△OBF≌△ODF，即可得到∠OBF=∠ODF．根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBF=90°，則有∠ODF=90°，即可得到DF與⊙O相切；④易證△BOE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=$\frac{1}{4}$．

解答 解：①∵AB=AC，OB=OE，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠ACB，
∴OE∥AC．
故①正確；
②連接OD，如圖．
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOE=∠EOD，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$．
故②正確；
③在△OBF和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOF=∠DOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ODF，
∴∠OBF=∠ODF．
∵BF與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠OBF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF與⊙O相切．
故③正確；
④∵OC∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BO}{BA}$）²=$\frac{1}{4}$．
故④正確．
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，難度不大，但覆蓋的知識面比較廣，是考查基礎(chǔ)知識的一道好題．