Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)AO=CO，EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形，再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形，首先證明為矩形，再證明AC⊥EF根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形．
證明：由（2）可得點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)平行四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴∠2=45°，
∵平行四邊形AECF是矩形，
∴EO=CO，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠MOC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形和正方形的判定，關(guān)鍵是掌握矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．