Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，點P從A出發(fā)沿線路AB-BC作勻速運動，點Q從AC的中點D同時出發(fā)沿線路DC-CB作勻速運動逐步靠近點P．設兩點P、Q的速度分別為1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它們在t秒后于BC邊上的某一點E相遇．  
（1）求出AC與BC的長度；
（2）試問兩點相遇時所在的E點會是BC的中點嗎？為什么？
（3）若以D、E、C為頂點的三角形與△ABC相似，試分別求出a與t的值．（結果精確到0.1）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件和三角函數(shù)就可以得出AC與BC的長度；
（2）在t秒后，點Q運動的路程為at，點P運動的路程為t，那么，BE=t-12，CE=at-12，這兩個式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C為頂點的三角形與△ABC相似，由于∠C=∠C，分∠DEC=∠B=90°或∠E'DC=∠B=90°兩種情況討論計算即可得出結論．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
∴BC=$\sqrt{3}$AB=12$\sqrt{3}$（厘米）．

（2）E點不會是BC的中點．
在t秒后，點Q運動的路程為at，點P運動的路程為t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E點不會是BC的中點．

（3）若以D，E，C為頂點的三角形與△ABC相似，

∵∠C=∠C，
∴∠DEC=∠B=90°或∠E'DC=∠B=90°，
①當∠DEC=∠B=90°時，△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{AC}$
∴$\frac{CE}{12\sqrt{3}}=\frac{12}{24}$
∴CE=6$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=6$\sqrt{3}$，
∴BE=t-AB=t-12=6$\sqrt{3}$
∴t=12+6$\sqrt{3}$，
∵CE=at-CD=at-12=6$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{12+6\sqrt{3}}{t}$=$\frac{12+6\sqrt{3}}{12+6\sqrt{3}}$=1，
∵a＞1，
∴此種情況不符合題意，
②當∠E'DC=∠B=90°時，
∴則△DCE'∽△BCA，
∴$\frac{CE'}{AC}=\frac{CD}{BC}$
∴$\frac{CE'}{24}=\frac{12}{12\sqrt{3}}$，
∴CE'=24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵BC=12$\sqrt{3}$，
∴BE'=BC-CE'=12$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
由運動知，CE'=at-12，BE'=t-12，
∴at-12=8$\sqrt{3}$，t-12=4$\sqrt{3}$，
∴t=12+4$\sqrt{3}$≈18.9，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$≈1.4
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．

點評 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是用分類討論的思想思考問題．