Question

在四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為P，Q，M，N；
（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．
（2）若在AB上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形．
①判斷此時(shí)四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；
②當(dāng)AE=6，EB=3，求此時(shí)四邊形PQMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專(zhuān)題：

分析：（1）連結(jié)AC、BD．利用三角形中位線(xiàn)定理判定四邊形PQMN的對(duì)邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；
（2）①設(shè)△ADE的邊長(zhǎng)是x，△BCE的邊長(zhǎng)是y，由于DB²=（

1

2

x+y）²+（

3

2

x）²=x²+xy+y²，AC=（x+

1

2

y）²+（

3

2

y）²=x²+xy+y²，可得平行四邊形PQMN的對(duì)角線(xiàn)相等，從而得出平行四邊形PQMN是菱形；
②如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則通過(guò)解三角形求得DF=3

3

，由勾股定理得到DB．由①知四邊形PQMN是菱形，可計(jì)算得周長(zhǎng)是6

7

．

解答：解：（1）連結(jié)AC、BD．
∵PQ為△ABC的中位線(xiàn)，
∴PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，
同理MN∥AC．MN=

1

2

AC．
∴MN=PQ，MN∥PQ，
∴四邊形PQMN為平行四邊形；

（2）①四邊形PQMN是菱形；
理由如下：設(shè)△ADE的邊長(zhǎng)是x，△BCE的邊長(zhǎng)是y，
∴DB²=（

1

2

x+y）²+（

3

2

x）²=x²+xy+y²，AC²=（x+

1

2

y）²+（

3

2

y）²=x²+xy+y²，
∵平行四邊形PQMN的對(duì)角線(xiàn)相等，
∴平行四邊形PQMN是菱形；
②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則DF=3

3

又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=3

7

∴由①知四邊形PQMN是菱形，可計(jì)算得周長(zhǎng)是6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形以及菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)，利用了三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理．