Question

3．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=10cm，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，均以1cm/s的速度作直線運動．已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，設點P運動時間為t（s）．
（1）當t=5s時，求線段PQ的長；
（2）當t為何值時，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于點E，當點P，Q運動時，線段DE的長度是否變化？如果不變，請求出DE的長度；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△PBQ利用勾股定理即可．
（2）根據(jù)三角形面積公式列出方程即可求解．
（3）結論不變，作QM⊥AC于M，先證明△AEP≌△QMC得AE=PE=QM=CM，再證明△PDE≌△QDM得DE=DM，由此可以得出DE=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）t=5s時AP=CQ=5，
在RT△PBQ中，∵PB=AB-AP=5，BQ=BC+CQ=15，
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{5}^{2}}$=5$\sqrt{10}$cm．
（2）由題意：$\frac{1}{2}$•t•（10-t）=$\frac{6}{25}$×$\frac{1}{2}$×10×10，
整理得t²-10t+24=0，
解得t=4或6，
則t=4或6時，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC．
（3）DE的長度不變，DE=5$\sqrt{2}$，理由如下，
作QM⊥AC于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°，
∵∠AEP=∠QMC=90°，
∴∠APE=∠A=∠QCM=∠CQM=45°，
∴AE=PE，CM=QM，
在△AEP和△QMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CQM}\\{AP=CQ}\\{∠APE=∠QCM}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△QMC，
∴AE=PE=QM=CM，
在△PDE和△QDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMD=∠PED}\\{∠PDE=∠QDM}\\{PE=QM}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDM，
∴DE=DM=$\frac{1}{2}$EM，
∵AE=CM，
∴AC=EM，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{10}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質三角形的面積等知識，添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于中考�？碱}型．