Question

4．在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點．
（1）指出圖中的一個等腰三角形，并說明理由．
（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達）．
（3）猜想∠ABC和∠EDA的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，等量代換即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計算；
（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）△DEF是等腰三角形．
∵CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵FE=FB，F(xiàn)D=FC，
∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°-∠A=180°-x°，
∠AED+∠ADE=180°-∠A=180°-x°，
∴∠FED+∠FDE=360°-（180°-x°）-（180°-x°）=2x°，
∴∠EFD=180°-2x°；
（3）∠ABC=∠EDA．
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、E、D、C四點共圓，
∴∠ABC=∠EDA．

點評 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．