Question

如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為多少時(shí)，線段PE長(zhǎng)度有最大值，最大值是多少？
（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得縱坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．
（2）根據(jù)拋物線的解析式和直線的解析式，設(shè)出P、E的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出PE=-m²-2m+3-（-m+1）=-m²-m+2=-（m+

1

2

）²+

9

4

，即可求得．
（3）此題可分作兩種情況考慮：
①CE∥DG；根據(jù)拋物線的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，可得C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即C、D的縱坐標(biāo)相同，所以CD∥x軸，那么C點(diǎn)就是符合條件的G點(diǎn)，易求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知AE=CD，由此可得到AE的長(zhǎng)，將A點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移CD個(gè)單位即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
②AC∥EG；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，此時(shí)G、C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)；那么將G點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去3（A、C橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值），即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該有4個(gè)．

解答：（1）令y=0，則-x²-2x+3=0，
解得：x=-3，x=1，
∴B（-4，0），A（1，0），
∵拋物線y=-x²-2x+3經(jīng)過C點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
∴y=-（-2）²-2×（-2）+3=3，
∴C（-2，3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴

k+b=0 -2k+b=3

，
解得

k=-1 b=1

∴直線AC的解析式為y=-x+1；

（2）設(shè)P（m，-m+1），則E（m，-m²-2m+3），
∴PE=-m²-2m+3-（-m+1）=-m²-m+2=-（m+

1

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，PE有最大值，最大值為

9

4

，
此時(shí)P（-

1

2

，

3

2

），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，

3

2

）時(shí)，線段PE長(zhǎng)度有最大值，最大值是

9

4

．

（3）存在符合條件的點(diǎn)E，
如圖，①在y=-x^2-2x+3中，令x=0，則有：y=3，故點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3），
∴CD∥x軸，
∴在x軸上截取AE₁=AE₂=CD=2，得四邊形ACDE₁和ADCE₂，
此時(shí)：點(diǎn)D與點(diǎn)G重合，E₁（-1，0），E₂（3，0）．
②∵AF=CF=3，∠CFA=90°，
∴∠FAC=45°，
當(dāng)G₃E₃∥AC且相等時(shí)，有四邊形G₃E₃CA，作G₃N⊥x軸于點(diǎn)N，
∵∠G₃E₃A=∠FAC=45°，∠G₃NE₃=90°，G₃E₃=AC=3

2

，
∴G₃N=E₃N=3；
將y=-3代入y=-x^2-2x+3
得：x=-1+

7

或x=-1-

7

，
∴E₃的坐標(biāo)為：（-1+

7

-3，0），
即（-4+

7

，0），
同理可得：E₄（-4-

7

，0），
綜上所述：存在這樣的點(diǎn)E，所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為：
E₁（-1，0），E₂（3，0），E₃（-4+

7

，0），E₄（-4-

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；要特別注意的是（3）題中，由于沒有明確AC是平行四邊形的邊還是對(duì)角線，所以一定要分類討論，以免漏解．