Question

20．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，分析下列五個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$；⑤S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 5個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 2個(gè)

Answer 1

分析 ①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，故②正確；
③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；
④根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯(cuò)誤；
⑤根據(jù)△AEF∽△CBF得到$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCDS_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正確．

解答 解：過D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正確；
設(shè)AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{a}=\frac{\frac{a}{2}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}$，
∴tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯(cuò)誤；
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．