Question

4．如圖，半徑為2的⊙O中，弦BC=2$\sqrt{3}$，A是優(yōu)弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心，經(jīng)過B、C、P三點(diǎn)作⊙M，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙M的半徑（　　）

• A． 發(fā)生變化，隨A位置決定
• B． 不變，等于2
• C． 有最大值為2$\sqrt{3}$
• D． 有最小值為1

Answer 1

分析 作直徑BD，由圓周角定理得出∠BCD=90°，∠BAC=∠D，由三角函數(shù)求出∠BAC=∠D=60°，得出∠BOC=2∠BAC=120°，∠ABC+∠ACB=120°，由內(nèi)心的性質(zhì)得出∠PBC+∠PCB=60°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠BPC=120°=∠BOC，證出點(diǎn)O在⊙M上，延長(zhǎng)OM=CM，證出$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，得出∠BOM=∠COM=60°，得出△OCM是等邊三角形，即可得出結(jié)論．

解答 解：作直徑BD，連接CD，OC，BM，CM，OM，如圖所示：
則∠BCD=90°，∠BAC=∠D，
∴sinD=$\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAC=∠D=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，∠ABC+∠ACB=120°，
∵P點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BPC=120°=∠BOC，
∴點(diǎn)O在⊙M上，
∴OM=CM，
∵BM=CM，
∴$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，
∴∠BOM=∠COM=60°，
∴△OCM是等邊三角形，
∴CM=OC=2，
即⊙M的半徑不變，等于2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角函數(shù)的運(yùn)用、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．