Question

16．已知：∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，AB=6，AC=3．
（1）求證：△DBE≌△DCF；
（2）求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD、BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CD，由角平分線的性質(zhì)可知DE=DF，利用HL可證明Rt△DBE≌Rt△DCF；
（2）由條件可證明Rt△ADF≌Rt△ADE，可得AF=AE，利用線段和差可得AE-BE=AC，又AE+BE=AB，可求得BE的長．

解答 解：
（1）證明：
連接CD、BD，

∵DG垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DBE和Rt△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，且由（1）可知DE=DF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
又由（1）可知BE=CF，
∵AC=AF-CF，AB=AE+BE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AE-BE=3}\\{AE+BE=6}\end{array}\right.$，解得BE=1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意角平分線和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用．